法律分析:
醉酒后打人构成轻微伤的，需要承担损害赔偿，一般包括误工费、医疗费等。如果造成轻伤以上，就会构成故意伤害罪，需要承担刑事责任。
法律依据:
《中华人民共和国刑法》 第二百三十四条 故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。
犯前款罪，致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本法另有规定的，依照规定。